Eixo Temático: Resolução
de Problemas e Investigação Matemática
A IMPORTÂNCIA DOS MATERIAIS MANIPULATIVOS NO
ENSINO DE GEOMETRIA
Joice Yuko OBATA – ICMC/USP
– SP (joiceyuko@gmail.com)
Resumo: No presente relato encontram-se as experiências das
aulas de geometria ministradas pela professora em formação e bolsista do
programa Pibid (Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência). As
aulas foram ministradas semanalmente, primeiro para uma turma formada por
alunos da 2ª e 3ª séries do Ensino Médio nos meses de março e abril e
posteriormente para uma turma formada somente por alunos da 2ª série nos meses
de maio e junho, ambas na E.E. Dr.
Álvaro Guião, do município de São Carlos. Essas aulas objetivavam revisar
tópicos de geometria plana e espacial (definições de ângulo, perímetro, área;
classificação de figuras geométricas, área lateral e volume de sólidos
geométricos). Para isso, foi utilizado materiais manipuláveis como recortes em
cartolina de figuras geométricas planas, planificações e sólidos montados a
partir destas, assim como problemas retirados das provas do ENEM (Exame
Nacional do Ensino Médio), para preparação à esse exame e fixação do conteúdo.
Mediante as aulas e a comparação da participação e do desempenho das duas
turmas através da participação das mesmas, constata-se que o uso de materiais
manipuláveis foi mais significativo do que os exercícios do ENEM, para a
revisão e a dedução de fórmulas para calcular áreas e volumes, pois além de
despertar mais interesse dos alunos, favoreceu a participação da turma na aula.
Logo, essa experiência fez com que seja priorizado mais os materiais
manipulativos para utilizar com as futuras turmas, após a formação na graduação
da autora, pois se mostrou importante para a construção de prática como futura
docente, se tornando mais uma ferramenta extremamente útil para promover o
ensino de Geometria.
Palavras-chave:
materiais manipulativos, geometria, prática docente.
Introdução
No decorrer da formação, participou-se do Programa Institucional de Bolsa
de Iniciação à Docência – Pibid da CAPES, na área de Matemática, intitulado
“Apoio à docência como componente articulador da teoria e prática na formação
inicial do professor”; com atuação em escolas estaduais da cidade de São
Carlos. Os principais objetivos do programa são: incentivar a formação de
docentes para a Educação Básica; contribuir para a valorização do magistério;
elevar a qualidade da formação inicial de professores nos cursos de
licenciatura, promovendo a integração entre o Ensino Superior e a Escola
Básica, inserindo os licenciandos no cotidiano dessas escolas e
proporcionando-lhes oportunidades de criação e participação em experiências
metodológicas, tecnológicas e práticas de caráter inovador e interdisciplinar,
que busquem a superação de problemas identificados no processo de
ensino-aprendizagem.
As aulas com a utilização de materiais manipulativos foram ministradas
primeiramente para uma turma formada por alunos da 2ª e 3ª série do Ensino
Médio, de março a abril de 2013, e posteriormente para uma turma formada
somente por alunos da 2ª série, de maio à primeira semana de junho, ambas na
E.E Dr. Álvaro Guião, do município de São Carlos, às quartas-feiras, no período
das 18h às 19h. Tais aulas objetivavam fazer revisões de tópicos de geometria
plana e espacial (ângulo, perímetro, área, classificação de figuras geométricas
como quadrado, triângulo, retângulo, paralelogramo, trapézio, pentágono,
hexágono, área lateral e volume de sólidos geométricos como: cubo,
paralelepípedo, prismas de bases triangular, quadrada, pentagonal, hexagonal,
pirâmides de base triangular, quadrada, pentagonal, hexagonal, cilindro, cone e
esfera). Para isso, foi utilizado materiais manipuláveis, como recortes em
cartolina de figuras geométricas planas, planificações e sólidos, além de
problemas do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio).
Nos meses de março e abril, foi dado a primeira aula para a primeira
turma, foi priorizada a utilização de exercícios do ENEM, por causa de seu
interesse pelos vestibulares, pela necessidade de praticar a interpretação de
enunciados extensos para futuros problemas matemáticos relacionados à geometria
(embora não apareçam com frequência nessas provas), pois considerou-se que
estas são questões importantes, pelo uso do raciocínio lógico, e os alunos
geralmente têm dificuldades para o seu entendimento. Por este motivo, as aulas
intercalavam-se entre conteúdo e exercícios, ou seja, primeiro era introduzido
os conceitos de geometria (ângulo, classificação dos polígonos, perímetro,
área, sólidos geométricos, suas características, áreas totais e volumes)
sanando as possíveis dúvidas, e depois, era distribuído exercícios para que os
alunos praticassem. Na última aula, foi aplicado uma avaliação e se percebeu o
baixo desempenho deles, já que não fizeram a maioria das questões. Esse fato mostrou que a percepção de que estavam
entendendo as explicações, nas aulas anteriores, não se sustentava. Ou
entenderam e não se lembravam, por não terem reestudado a aula, ou sequer
haviam compreendido. Além disso, percebeu-se que durante as aulas os
alunos ficavam dispersos e poucos deles realmente prestavam atenção e queriam
aprender. Somando-se a isso, observou-se que muitos não apresentavam o
entusiasmo de fazer as questões quando viam muitos exercícios.
Por estas razões, decidiu-se que nos
meses de maio e junho seria mudado o método das aulas para a segunda turma.
Passou-se a apresentar algumas atividades lúdicas para prender mais a atenção
dos alunos e tentar, de alguma forma, aumentar o interesse e a curiosidade
deles com relação à Geometria. Com isso, utilizou-se o emprego de atividades
diferenciadas tanto em formato de jogos como na aplicação de exercícios que
priorizassem o raciocínio lógico, a concentração e a memorização, com alguns
pontos dinâmicos como o tempo de resolução dessas questões. Assim, em cada aula
era aplicado uma atividade diferente e dinâmica, para cada tema da Geometria já
citado anteriormente. Assim como para a outra turma, nesta também foi aplicado
uma avaliação na última aula e se percebeu que, embora o desempenho não tenha
sido tão bom quanto se esperava, houve uma grande boa diferença, já que esses
alunos realmente tentaram resolver todos os exercícios, o que não aconteceu com
a turma anterior. Além disso, constatou-se a questão da maior colaboração que
os alunos tiveram na aula e o interesse que mostravam em cada atividade
passada.
Experiência Desenvolvida
O relato se inicia com as aulas dadas
do período de março e abril para primeira turma – alunos da 2ª e 3ª série do Ensino
Médio. No dia primeiro dia, 27 de fevereiro, foi aplicado uma atividade para
observar os conhecimentos prévios dos alunos a respeito de ângulos, perímetros
e áreas. A atividade consistiu em blocos contendo 4 perguntas cada, sendo uma
de cada assunto: ângulos, perímetros, áreas e classificação de polígonos. As
perguntas eram bem básicas. Por exemplo: “Qual é o nome do polígono cuja soma
dos ângulos internos somam 180º?”. O objetivo de ter elaborado perguntas
elementares foi para avaliar os conhecimentos básicos dos alunos, pois se eles
estavam em fase de vestibular, imaginou-se que não poderiam ter tantas
dificuldades com aqueles assuntos referentes ao Ensino Fundamental. E se constatou
que isso, infelizmente, não ocorria. Portanto, as próximas ações deveriam ser
propostas para tentar amenizar tais dificuldades.
No dia 6 de março, foi aplicado uma
atividade para revisar questões relacionadas com ângulos, perímetros e áreas de
polígonos que são mais frequentes nas provas do ENEM, além de incentivarem os
alunos praticarem mais a interpretação com relação a exercícios de longo
enunciado. Comentou-se sobre um dos pontos que os alunos tiveram mais
dificuldades, que foi sobre a nomenclatura de alguns tipos de triângulo e
ângulo, definindo o que eram os acutângulos e obtusângulos, pois foram
respostas inesperadas que apareceram para as perguntas aplicadas na aula
anterior. Além disso, foi comentado sobre a dificuldade que o pessoal teve para
interpretar as perguntas: “Qual o nome do polígono que tem duas retas opostas
paralelas e as outras duas concorrentes? e “Qual polígono que possui retas
opostas duas a duas paralelas e ângulos dois a dois iguais? Resposta:
Paralelogramo.” E foi sendo explicado através da interpretação visual, ou seja,
conforme a leitura da pergunta, desenhava-se a figura geométrica com o uso de
retas.
No dia 13 de março, explicou-se sobre conceitos relacionados a sólidos
geométricos e foi apresentado uma forma dedutiva de como calcular suas
respectivas áreas totais, explicando o que é sólido geométrico. Em seguida foi
introduzido o cubo, através da representação que foi tomada emprestada do LEM
(Laboratório de Ensino de Matemática do ICMC-USP) e foi mostrado a planificação
correspondente; e assim se seguiu com outros prismas (paralelepípedo, prismas
pentagonal e hexagonal), lembrando que o cubo também é um prisma. Feito isso,
explicou-se como calculava a área lateral de cada prisma, usando o método de
calcular separadamente a área de cada figura envolvida no sólido geométrico, e
somar todas as áreas no final. Depois seguiu-se com a pirâmide, também foi mostrado
sua planificação e a representação, sendo uma com base triangular e a outra de
base quadrada. Acrescentou-se que a pirâmide admite outros polígonos em sua
base. Por fim, explicou-se que eles poderiam calcular a área lateral da
pirâmide, tanto usando a fórmula que envolve o apótema (a), perímetro (p) e a
área da base (A) => S = 1/2pa + A, como também através do cálculo das áreas
separadamente, e depois somando tudo (S = 4ATriang + AQuad).
O mesmo procedimento foi usado para explicar como se calculava a área do
cilindro, bem como a mostra de sua planificação.
No dia 3 de abril, foi aplicado uma
atividade para observar os conhecimentos prévios dos alunos a respeito de
volumes de sólidos geométricos, entregou-se blocos de perguntas relacionadas a
essa temática. Cada bloco tinha duas perguntas. Percebeu-se que eles não
conseguiam responder com muita rapidez, apesar do tempo estipulado para cada
bloco de perguntas, pois estavam com dificuldades de identificar o sólido
apresentado na pergunta. Muitos interpretaram prisma como pirâmide. Pode-se
verificar isso através do esboço feito na folha de resposta dos alunos.
No dia 17 de abril, explicou-se
conceitos relacionados a sólidos geométricos e como calcular seus respectivos
volumes, através das figuras geométricas citadas e apresentadas. Iniciou-se a
aula retornando os exercícios feitos pelos alunos que foram entregues ao longo
do bimestre, já corrigidos. Houve bastante participação dos alunos nesse
momento, mas percebeu-se muitas dificuldades, pois nem todas as questões
estavam respondidas e naquelas em que havia respostas, a maioria estava errada.
Logo depois, iniciou-se o conteúdo sobre volume de sólidos geométricos,
conceituando volume e explicou-se como calculava o do cubo, do paralelepípedo,
prisma e pirâmide. Explicou-se como calculava o volume do cilindro, cone e
esfera, fornecendo exemplos, retomando a correção de algumas questões que foram
dadas na aula anterior.
No dia 24 de abril, corrigiu-se dois exercícios do ENEM, usando
exatamente o tempo que havia sido disponibilizado para a correção (15 minutos);
no restante da aula os alunos fizeram a prova que estava prevista para esse
dia. Esses exercícios envolviam uma questão que comparava volume de uma
semiesfera e de um cone e outra com volume de cilindro. Após a correção, aplicou-se
a prova. Constatou-se que aplicar a prova para uma turma extremamente numerosa
é realmente uma tarefa difícil para o professor. Por mais que fosse chamada a
atenção de que a prova era individual e sem conversa, os alunos conversavam o
tempo todo para discutir as respostas e só paravam quando era chamado a atenção
deles diretamente, pois quando era pedido silêncio a todos, alguns alunos ainda
continuavam a conversar. Além disso,
observando-os durante a resolução da prova, pode-se perceber que a maioria
estava com muita dificuldade de responder, apesar do fato de que algumas
questões eram exatamente iguais às perguntas aplicadas em grupo nas aulas
anteriores.
A partir desse momento o relato se refere às aulas dadas em maio e junho
para a segunda turma - 2ª série do Ensino Médio. No dia 8 de maio, aplicou-se
uma atividade para avaliar o conhecimento da nova turma em relação aos tópicos
de geometria plana (ângulo, perímetro e área), sendo o mesmo aplicado para a
turma anterior;
No dia 15 de maio foi explicado sobre conceitos de ângulo, perímetro e
área usando materiais manipuláveis (recortes de polígonos em cartolina). Andava-se
pela sala e pelos grupos perguntando se tinham dúvidas e era observado se os
alunos estavam conseguindo responder as questões, e quase todos os grupos
estavam tentando. Notou-se que havia grupos que precisavam de um “empurrão”,
pois um deles não estava fazendo a atividade. A pergunta pedia para descobrir o
valor da incógnita, sabendo o valor do perímetro, então lhes foi perguntado
“qual é o conceito de perímetro?”, o que responderam corretamente; depois foi
perguntado o que aconteceria se fosse somado todos os lados e eles não sabiam
responder, e a resposta era uma equação do primeiro grau, feito isso, um dos
integrantes do grupo falou: “Então era só isso?”. Assim, nota-se que eles não
estavam conseguindo relacionar a equação do primeiro grau com o cálculo de
perímetro, o que mostra as dificuldades de inter-relação entre a geometria e a
álgebra.
No dia 22 de maio, revisou-se o
cálculo de áreas de figuras geométricas planas, enfatizando a importância de se
conhecer a área do retângulo e, através das figuras geométricas manipulativas,
deduziu-se as fórmulas das áreas das demais figuras. Além disso, foi explicado
como se calculava a área de um setor circular, tópico que um aluno pediu para
ensinar. Após a revisão, foi aplicado três exercícios para fixar o cálculo da
área das figuras propostas. A turma participou muito, fazendo os exercícios
propostos, discutindo com os colegas, olhando as anotações do caderno ou
tirando dúvidas.
No dia 29 de maio a aula foi sobre
áreas totais de sólidos e foi estimulado aos alunos a não ficarem decorando
fórmulas, mas sim a pensar de onde elas vieram, como foram deduzidas. No caso
das áreas laterais de sólidos geométricos, não utilizou-se fórmulas, mas levou-se
os alunos a raciocinarem sobre a soma de todas as áreas dos polígonos presentes
no poliedro, utilizando as planificações desses sólidos. Feito isso, foi
formado duas fileiras, com apenas 8 alunos em cada uma, pois devido à chuva
forte do dia, vários alunos estavam ausentes. Fixou-se uma caixa fechada para
cada fileira manipular. Dentro das duas caixas de papelão, as quais tinham dois
orifícios em uma das faces para que os alunos pudessem colocar suas mãos e
manipular seu conteúdo, havia sólidos geométricos e suas respectivas
planificações. Porém, os alunos não podiam visualizar o conteúdo da caixa,
apenas tocar os objetos. Foi passado com cada uma em uma fileira e indagando a
respeito do nome e dos elementos do sólido ou da planificação que o aluno
apanhava.
No dia 5 de junho, iniciou-se a aula sobre volumes de sólidos
geométricos. Começou-se a aula falando sobre o volume do cubo e do
paralelepípedo, depois sobre o volume de prisma e pirâmide. Para este último,
explicou-se porque o volume valia um terço do volume de um prisma de mesma base
e altura. Como havia tempo, também tratou-se do volume do cilindro e do cone e,
para finalizar, da esfera. A sala prestou atenção e não havia muita conversa
paralela ao ponto de atrapalhar a aula. Para possibilitar a fixação do conteúdo
da aula, foi passado três exercícios para calcular o volume do paralelepípedo,
pirâmide e cilindro. Enquanto os alunos tentavam responder, andava-se pela sala
para ver se estavam conseguindo responder às questões. E quando se percebia que
estavam com dificuldades para resolver, era dado um “empurrãozinho”, pois havia
alunos que não tinham entendido o enunciado.
No dia 12 de junho foi aplicado uma
avaliação para verificar o aprendizado dos alunos. Entregou-se a prova e só um
aluno terminou rapidamente (em cerca de 20 minutos). Considerou-se que a prova
estava extremamente fácil, pois foi tudo relacionado ao conteúdo visto em sala
anteriormente. Mesmo assim eles tiveram dificuldades em desenhar as figuras
geométricas pedidas, bem como fazer os cálculos. Notou-se que os alunos pensaram
que as questões de área eram iguais aos exercícios dados em sala de aula
(abordou-se o cálculo de área do trapézio, triângulo e retângulo), pois muitos
desenharam trapézio ao invés de losango, e na prova foram abordados os mesmos,
exceto o trapézio. Além disso, por mais que se tenha desenhado a pirâmide de
base quadrada na lousa e os alunos tenham tocado nos sólidos e nas
planificações, apenas 7 conseguiram responder corretamente essa questão e
apenas 12 conseguiram calcular seu volume. A questão menos respondida ou
acertada foi a que pedia para calcular a área total do cilindro dado (apenas 3
acertos). Havia uma questão relacionada à didática da aula, e quanto aos comentários
relacionados à essa questão, no geral foram bem positivos; muitos gostaram das
aulas, disseram que foram proveitosas e os ajudaram na aula de matemática
regular. Um aluno achou que as aulas não eram diferenciadas, sendo parecidas
com uma aula normal. O comentário mais interessante foi de uma aluna que disse
ter ido mal na prova por erro próprio: ela reconheceu não ter estudado mais
fora da escola. Obviamente, pelos dados acima, percebe-se que o cálculo de área
total, os desenhos de figuras geométricas precisam ser mais bem trabalhados,
pois o desempenho dos alunos com relação a essas questões foi sofrível.
Mediante a comparação da
participação e do desempenho das duas turmas, constata-se que o uso de
materiais manipuláveis foi mais significativo do que os exercícios do ENEM, na
dedução e revisão de fórmulas para calcular perímetros, áreas e volumes. Logo
essa experiência fez com que fosse percebido a importância da utilização de
atividades lúdicas e materiais manipulativos para auxiliar nas aulas de
matemática.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais
para o Ensino Médio (PCNEM) sugerem que a Matemática seja apresentada de modo
significativo aos alunos, de preferência com o uso de jogos, tecnologias da
informação ou por meio de materiais manipulativos e resolução de problemas da
vida cotidiana. Em nosso caso, para as atividades do Pibid no grupo de
Geometria, optou-se por utilizar uma associação desses dois últimos recursos,
com a finalidade de promover o raciocínio lógico para a dedução das tão temidas
“fórmulas da geometria”, mas com um suporte de visualização para facilitar esse
raciocínio e também a memorização das mesmas.
Referências
BRASIL, Ministério da Educação.
Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. 1998.
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