Escola
Estadual Dr. Álvaro Guião
Período:
90 minutos.
Data
prevista para aplicação do plano: 23/05/2012
e 30/05/2012.
Disciplina:
Matemática.
Responsável pelo plano: Graziele
Bombonato Delgado.
Público
alvo: 1ª, 2ª e 3º séries do Ensino Médio.
Conteúdo:
Progressões
Aritméticas.
Objetivos:
Revisar o conteúdo de progressões aritméticas de
forma lúdica.
Materiais:
Folha
de sulfite, lápis e borracha.
Metodologia
Será aplicado aos alunos um jogo
chamado Corrida ao 100. O jogo faz com que os alunos criem uma estratégia para
ganhar e, fazendo isso, eles criam na verdade progressões aritméticas e
descubram de forma lúdica suas propriedades.
Desenvolvimento:
Os alunos receberão duas folhas com
quatro cartelas impressas:
A seguir, serão explicadas as regras
do jogo:
·
Decidir
de forma justa (par ou ímpar, por exemplo) quem começa o jogo.
·
A
cada jogada, os alunos escolhem um número de casas de 1 a P para jogar(P
natural). O jogador 1 deverá anotar um círculo(O) em todas as casas P que ele
escolheu jogar e o jogador número 2 marcará um X da mesma forma.
·
Vence
o jogo quem marcar a casa de número 100.
Os alunos serão divididos em grupos
de 6 alunos, de forma que joguem três em cada equipe. A equipe deve construir
uma estratégia vencedora. Cada rodada do jogo tem 2 cartelas.
Para a primeira rodada vamos propor
para o jogo P=8. Portanto, os alunos só podem escolher de 1 a 8 casas para
jogar, cada um na sua vez. Enquanto eles jogam, vamos pedir para que anotem em
uma folha as conclusões que chegaram sobre suas estratégias e as casas que
marcaram durante o jogo. Será proposta a seguinte questão: “Será que existe uma
estratégia em que é possível vencer sempre? Se sim, descreva-a”.
Para alcançar a estratégia
vencedora, eles devem pensar da seguinte maneira: “se posso marcar até 8 casas,
para ter a certeza que vou ganhar a última casa que devo marcar é a de número
91, pois meu adversário poderá marcar, no máximo, a casa de número 99 e então
eu ganho. Mas para marcar a casa 91, devo marcar a casa 82”.
Seguindo esse raciocínio, o aluno
deverá formar a sequência 1 – 10 – 19 – 28 – 37 – 46 – 55 – 64 – 73 – 82 – 91 –
100. Dessa forma, sua equipe deve ter marcado uma dessas casas para garantir a
vitória no jogo. E, se tratar-se do primeiro jogador, tem-se a vantagem de que
a primeira casa marcada será menor que P e maior que zero.
Para a segunda rodada, vamos propor
que P seja diferente de 8. Os alunos devem escolher um P tal que 5 ≤ P ≤ 15.
Assim, pretendemos que os alunos confirmem o raciocínio da primeira rodada e
percebam que a estratégia vale para qualquer P escolhido.
Então temos as seguintes sequencias
possíveis:
Após o jogo vamos concluir a
atividade da seguinte maneira:
Os raciocínios anteriores nos levam
a obter os elementos da sequência tomando como penúltimo número 100 – n(P + 1),
onde n é o maior número natural menor ou igual a 100/(p+1).
Vamos analisar a sequência para P =
9. Vamos induzir os alunos a pensar com a seguinte pergunta: “Faz diferença ser
o jogador 1 ou o jogador 2 nesse caso?”
Os alunos que não escolheram P =9
dirão que não, que o jogador 1 sempre terá vantagem. Os alunos que jogaram com
P = 9vão observar que os dois primeiros números serão 0 e 10, mas 0 não
pertence à cartela e 10 não pode ser marcado pelo jogador 1 porque P=9, então
nesse caso, o jogador 2 leva vantagem.
Então vamos analisar as sequências
que fizeram os alunos ganhar o jogo observando suas características. Qual a
regularidade nas sequencias?
E então vamos apresentar uma
Progressão Aritmética, uma sequência de números reais em que a diferença entre
um termo qualquer e seu procedente é constante. Para essa diferença, damos o
nome de Razão R. Ligando essa definição ao jogo, explicamos que a estratégia
para o jogo vencedor é uma P.A de razão (P + 1). A partir disso, introduzimos a
notação a1. Observamos com eles que é possível obter
o restante dos termos da P.A sabendo apenas a razão e o primeiro termo.
Finalizamos a
aula mostrando que para uma sequencia de 7 números, por exemplo, o termo
central (a4) é o termo (a1 + a7)/2 {média aritmética
dos termos}, “justificando” o nome dado à sequência Progressão “Aritmética”.
Será apresentado
para eles dois exercícios com resolução para que eles saibam como aparece P.A
em exercícios.
Os exercícios
são:
Tisiu
ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de
bolitas e formou uma seqüência de "T" (a inicial de seu nome),
conforme a figura
Supondo
que o guri conseguiu formar 10 "T" completos, pode-se, seguindo o
padrão, afirmar que ele possuía
(A)
mais de 300 bolitas
(B)
pelo menos 230 bolitas.
(C)
menos de 220 bolitas.
(D)
exatamente 300 bolitas.
(E)
exatamente 41 bolitas.
Resolução:
Primeiro
T: 5 bolinhas a1
Segundo
T: 9 bolinhas a2
Terceiro
T: 13 bolinhas a3
a3
– a2 = a2 = a1 = 13 – 9 = 9 – 5 = 4 (R)
Então
temos uma P.A de Razão R = 4.
Precisamos
descobrir o a10:
a10
= a1 + n.R
a10
= a1 + 9R
a10
= 5 + 9. 4
a10
= 5 + 36
a10
= 41
Sabemos
que a1 = 5 e a10 = 41. Fazendo a Soma dos 10 termos, temos a quantidade de
bolinhas:
S
= (a1 + a10) 10/2
S
= (5 + 41) . 5
S
= 46 . 5 = 230
Portanto,
tínhamos 230 bolinhas.
Resposta:
alternativa B)
Duas pequenas fábricas de calçados,
A e B, têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de sapatos por mês.
Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70
pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por
mês, quantos pares as fábricas A e B produziram de janeiro até julho?
Resolução:
A
A1 = 3070 e r(A) = 70 a6 = a1 + 5.r
a6 = 3070 + 5.70 = 3420
S(A)= (3070 + 3420) . 6/2 = 6490. 3 = 19 470
B
a1 = 1390 e r(B) = 290 a6 = a1 + 5.r
a6 = 1390 + 5. 290 = 2840
S(B) = (1390 + 2840). 6/2 = 4230 . 3= 12 690
A fábrica A produziu 19 470 pares de calçados em 6
meses e a fábrica B produziu 12 690 pares.
Bibliografia:
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