quarta-feira, 25 de julho de 2012

Plano de Aula sobre Progressões Aritméticas


Escola Estadual Dr. Álvaro Guião
Período: 90 minutos.
Data prevista para aplicação do plano: 23/05/2012 e 30/05/2012.
Disciplina: Matemática.
Responsável pelo plano: Graziele Bombonato Delgado.
Público alvo: 1ª, 2ª e 3º séries do Ensino Médio.
Conteúdo: Progressões Aritméticas.
Objetivos: Revisar o conteúdo de progressões aritméticas de forma lúdica.
Materiais: Folha de sulfite, lápis e borracha.
Metodologia
            Será aplicado aos alunos um jogo chamado Corrida ao 100. O jogo faz com que os alunos criem uma estratégia para ganhar e, fazendo isso, eles criam na verdade progressões aritméticas e descubram de forma lúdica suas propriedades.
Desenvolvimento:
            Os alunos receberão duas folhas com quatro cartelas impressas:

            A seguir, serão explicadas as regras do jogo:
·         Decidir de forma justa (par ou ímpar, por exemplo) quem começa o jogo.
·         A cada jogada, os alunos escolhem um número de casas de 1 a P para jogar(P natural). O jogador 1 deverá anotar um círculo(O) em todas as casas P que ele escolheu jogar e o jogador número 2 marcará um X da mesma forma.

·         Vence o jogo quem marcar a casa de número 100.
            Os alunos serão divididos em grupos de 6 alunos, de forma que joguem três em cada equipe. A equipe deve construir uma estratégia vencedora. Cada rodada do jogo tem 2 cartelas.
            Para a primeira rodada vamos propor para o jogo P=8. Portanto, os alunos só podem escolher de 1 a 8 casas para jogar, cada um na sua vez. Enquanto eles jogam, vamos pedir para que anotem em uma folha as conclusões que chegaram sobre suas estratégias e as casas que marcaram durante o jogo. Será proposta a seguinte questão: “Será que existe uma estratégia em que é possível vencer sempre? Se sim, descreva-a”.
            Para alcançar a estratégia vencedora, eles devem pensar da seguinte maneira: “se posso marcar até 8 casas, para ter a certeza que vou ganhar a última casa que devo marcar é a de número 91, pois meu adversário poderá marcar, no máximo, a casa de número 99 e então eu ganho. Mas para marcar a casa 91, devo marcar a casa 82”.
            Seguindo esse raciocínio, o aluno deverá formar a sequência 1 – 10 – 19 – 28 – 37 – 46 – 55 – 64 – 73 – 82 – 91 – 100. Dessa forma, sua equipe deve ter marcado uma dessas casas para garantir a vitória no jogo. E, se tratar-se do primeiro jogador, tem-se a vantagem de que a primeira casa marcada será menor que P e maior que zero.
            Para a segunda rodada, vamos propor que P seja diferente de 8. Os alunos devem escolher um P tal que 5 ≤ P ≤ 15. Assim, pretendemos que os alunos confirmem o raciocínio da primeira rodada e percebam que a estratégia vale para qualquer P escolhido.
            Então temos as seguintes sequencias possíveis:

            Após o jogo vamos concluir a atividade da seguinte maneira:
            Os raciocínios anteriores nos levam a obter os elementos da sequência tomando como penúltimo número 100 – n(P + 1), onde n é o maior número natural menor ou igual a 100/(p+1).
            Vamos analisar a sequência para P = 9. Vamos induzir os alunos a pensar com a seguinte pergunta: “Faz diferença ser o jogador 1 ou o jogador 2 nesse caso?”
            Os alunos que não escolheram P =9 dirão que não, que o jogador 1 sempre terá vantagem. Os alunos que jogaram com P = 9vão observar que os dois primeiros números serão 0 e 10, mas 0 não pertence à cartela e 10 não pode ser marcado pelo jogador 1 porque P=9, então nesse caso, o jogador 2 leva vantagem.
            Então vamos analisar as sequências que fizeram os alunos ganhar o jogo observando suas características. Qual a regularidade nas sequencias?
            E então vamos apresentar uma Progressão Aritmética, uma sequência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer e seu procedente é constante. Para essa diferença, damos o nome de Razão R. Ligando essa definição ao jogo, explicamos que a estratégia para o jogo vencedor é uma P.A de razão (P + 1). A partir disso, introduzimos a notação a1. Observamos com eles que é possível obter o restante dos termos da P.A sabendo apenas a razão e o primeiro termo.
            Finalizamos a aula mostrando que para uma sequencia de 7 números, por exemplo, o termo central (a4) é o termo (a1 + a7)/2 {média aritmética dos termos}, “justificando” o nome dado à sequência Progressão “Aritmética”.
            Será apresentado para eles dois exercícios com resolução para que eles saibam como aparece P.A em exercícios.
            Os exercícios são:
Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou uma seqüência de "T" (a inicial de seu nome), conforme a figura
Supondo que o guri conseguiu formar 10 "T" completos, pode-se, seguindo o padrão, afirmar que ele possuía

(A) mais de 300 bolitas
(B) pelo menos 230 bolitas.
(C) menos de 220 bolitas.
(D) exatamente 300 bolitas.
(E) exatamente 41 bolitas.

Resolução:
Primeiro T: 5 bolinhas     a1
Segundo T: 9 bolinhas    a2
Terceiro T: 13 bolinhas    a3
a3 – a2 = a2 = a1 = 13 – 9 = 9 – 5 = 4 (R)
Então temos uma P.A de Razão R = 4.
Precisamos descobrir o a10:
a10 = a1 + n.R
a10 = a1 + 9R
a10 = 5 + 9. 4
a10 = 5 + 36
a10 = 41

Sabemos que a1 = 5 e a10 = 41. Fazendo a Soma dos 10 termos, temos a quantidade de bolinhas:
S = (a1 + a10) 10/2
S = (5 + 41) . 5
S = 46 . 5 = 230
Portanto, tínhamos 230 bolinhas.
Resposta: alternativa B)

            Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês, quantos pares as fábricas A e B produziram de janeiro até julho?
Resolução:
A
A1 = 3070 e r(A) = 70                    a6 = a1 + 5.r
                                                       a6 = 3070 + 5.70 = 3420

S(A)= (3070 + 3420) . 6/2 = 6490. 3 = 19 470


B
a1 = 1390 e r(B) = 290                 a6 = a1 + 5.r
                                                      a6 = 1390 + 5. 290 = 2840
    
S(B) = (1390 + 2840). 6/2 = 4230 . 3= 12 690
A fábrica A produziu 19 470 pares de calçados em 6 meses e a fábrica B produziu 12 690 pares. 
Bibliografia:

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